Er studierte in seiner Heimatstadt und schloss 1933 mit Diplom ab. Im drauffolgenden Jahr wurde er Assistent Bruno Walters und Arturo Toscaninis bei den Salzburger Festspielen. 1937 dirigierte er zum ersten Mal an der Metropolitan Opera, wo er sich im folgenden Jahr als Europa-Flüchtling dauerhaft etablierte. Nach Kriegsende dirigierte er gelegentlich auch wieder in Europa, war aber hauptsächlich in Amerika tätig, wo er besonders als Wagner-Dirigent geschätzt wurde, aber auch z. B. eine hinreißende „Turandot“ von Giacomo Puccini einspielte (mit Birgit Nilsson, Jussi Björling und Renata Tebaldi). Allgemein galt Leinsdorf, zum Teil aufgrund seiner Ausbildung, als typischer Operndirigent.

1962 wurde Leinsdorf Nachfolger von Charles Münch als Chefdirigent des Boston Symphony Orchestra. 1978-1981 arbeitete er intensiv mit dem Radio-Symphonie-Orchester Berlin, heute: Deutsches Symphonie-Orchester Berlin, zusammen, mit dem er im Juni 1980 eine vielbeachtete Ostasien-Tournee unternahm.

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