Kussmaul erhielt den ersten Violinenunterricht bei seinem Vater. Nach Studien in Mannheim und beim Carl-Flesch-Schüler Ricardo Odnoposoff an der Staatlichen Hochschule für Musik und Darstellende Kunst Stuttgart war Kussmaul bald Preisträger internationaler Wettbewerbe, sowohl als Solist wie mit seinem Stuttgarter Klaviertrio. Seine Konzerttätigkeit als Solist und Kammermusiker lässt ihn weltweit reisen.

Kussmaul ist ein international gefragter Lehrer, unterrichtet seit 1977 an der Hochschule für Musik Freiburg und ist Leiter der Carl-Flesch-Akademie Baden-Baden. Von 1993 bis 1997 war er erster Konzertmeister der Berliner Philharmoniker. Seit dieser Zeit leitet er die Berliner Barocksolisten. Schüler Kussmauls in Freiburg gründeten das Freiburger Barockorchester, welches inzwischen eine Ensemble von internationalem Rang ist.
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